Veel

DEM-i maksimaalsele kõrgusele vastava punkti loomine

DEM-i maksimaalsele kõrgusele vastava punkti loomine


Mind huvitab, kuidas saaksin luua punkti, mis vastab DEM-i maksimaalsele kõrgusväärtusele. Ma mõtlen, et DEM-ist saan hõlpsasti maksimaalse kõrguse. Vaatenurga analüüsi huvides sooviksin luua maksimaalse kõrgusega kohale vastava punktiomaduse. See on vist lihtne, kuid mul on raskusi õige protseduuri leidmisega.

Kasutan arcgis 10.1 (täiustatud litsentsiga).


kui arvutate oma rastri statistikat (või tsoonistatistikaga, kui otsite kindlat tsooni), leiate selle maksimaalse väärtuse (omadused> allikas> statistika> max)

Seejärel saate väärtust kasutada rasterkalkulaatoris

Con ("raster" == maxvalue, 1)

EDIt: kus maxvalue on kas tsoonistatistika loodud raster või atribuutides loetud väärtus.

MUUDA Tegelikult töötab see kaardi algebras. Tänan teid @WhiteboxDev idee eest:

Con ("raster" == "raster". Maksimum, 1)

ja teisendada saadud raster punktiks.


Topograafiliste süvendite võimsusseaduse skaala ja nende hüdroloogiline ühenduvus

Topograafilised lohud, külgmise pinnavooluta alad, on maapinna üldised omadused, mis kontrollivad paljusid ökosüsteemi ja biogeokeemilisi protsesse. Suur lohkude tihedus suurendab pinna salvestusvõimet, samas kui madalam lohutihedus suurendab äravoolu, mõjutades seeläbi mulla niiskuse seisundit, hüdroloogilist ühenduvust ning kliima, mulla ja taimestiku koostoimeid. Tänu kõrge eraldusvõimega lidaripõhise digitaalse kõrguse mudeli laialdasele kättesaadavusele (lDEM) andmete põhjal on nüüd võimalik tuvastada ja iseloomustada topograafiliste lohkude ruumilise jaotuse struktuuri, et neid saaks lisada ökohüdroloogilistesse ja biogeokeemilistesse uuringutesse. Siin me kasutame lDEM-i andmed, et dokumenteerida topograafiliste süvendite levimust ja mustreid viiel erineval maastikul Ameerika Ühendriikides ning iseloomustada kvantitatiivselt atribuutide tõenäosuse jaotust, näiteks pindala, salvestusmaht ja kaugus lähima naabrini. Süvise tuvastamise algoritmi abil näitame, et need atribuutide tõenäosusjaotused järgivad skaleerimisseadusi, mis viitavad struktuurile, kus suur osa maapinda võib koosneda suurest arvust igas suuruses topograafilistest süvenditest ja moodustada 4 kuni 21 mm süvendihoidla. See tähendab, et maastike väikesemahuliste topograafiliste lohkude mõju materjalivoogude ümberjaotusele, aurustumisele ja hüdroloogilisele ühenduvusele on üsna märkimisväärne.


Sissejuhatus

Kliimamuutused ohustavad riigi ja kogu maailma infrastruktuuri. See oht pole kusagil otsesem kui rannikualadel, kus üksteisest sõltuv kriitiline infrastruktuur (ICI) pakub elujooni mitte ainult rannikupiirkondades elavatele inimestele, vaid ka neile, kes on kaugel rahva sisemusest, kuna rannikukogukonnad pakuvad kriitilisi kanaleid kaupadele ja teenustele sissepoole reisima. Tormihoog, üleujutused tormi tõttu, mis tõukab vett vastu rannajoont, on paljudes maailma rannikualades suureks ohuks, põhjustades laiaulatuslikke kahjustusi suurtes rannaäärtes, nagu hiljuti demonstreeris orkaan Sandy (2012), mis põhjustas otseselt 67,6 miljardit dollarit kahju (NCEI 2018). Täna ja tulevikus võivad need katastroofilised sündmused kliimamuutuste mõjude tõttu tavalisemaks muutuda. Kui prognoositakse, et merepinna tõus tõuseb sajandi lõpuks kogu maailmas keskmiselt vähemalt 1 meetrini (Parris jt 2012 Stocker jt 2013), põhjustab eeldatavasti varem mõõdukate rannikutormidega seotud tormihooge. saada katastroofideks. New York City demonstreerib seda, nagu on näha jooniselt 1, kus prognoositav üleujutus laieneb aja jooksul ja sellega seotud merepinna tõus. Tulemuseks on orkaani Sandy ajal täheldatud kriitilise infrastruktuuri suurenenud haavatavus, mis põhjustas New Yorgis olulisi katkestusi transpordi-, elektri- ja hädaabiteenistustes. Nende katkestuste vältimise viiside leidmine on meie rannikualade ja neist sõltuvate laiemate kogukondade ohutuse ja pikaealisuse tagamisel keskse tähtsusega.

100-aastane lamm koos merepinna tõusuga Alam-Manhattani piirkonnas. Helesinine värv näitab 2020. aastate lammid ja tumesinine värv 2050. aastate lammid (linnapea jätkusuutlikkuse büroo 2017a, b)

Rannakaitsestrateegiad on eri vormides ja sageli nõuab optimaalne strateegia mitmete erinevate lähenemisviiside kombinatsiooni. Optimaalse strateegia leidmine on aga äärmiselt keeruline ja tegelikku võimaluste ulatust uuritakse harva, eriti kui arvestada tormidega, mis jäävad ajaloolisest rekordist välja. Siin pakutav metoodiline raamistik ühendab infrastruktuuri jaoks optimaalsete rannakaitsestrateegiate leidmiseks arvutusmudelid ja sotsiaalteadused. Tuleb märkida, et käesolevas artiklis tähendab "optimaalne" lahendus "kõige tõhusamat ja eelistatumat" lahendust, arvestades mitmeid ettenähtud piiranguid. Sellest tulenevalt on optimaalsuse määratlemisel teatud piirangud, kuna tulevased tormid ja merepinna tõus on väga ebakindlad sündmused. Sotsiaalteaduste komponent hõlmab kohalike ja piirkondlike sidusrühmade intervjuusid, kellel on tehnilisi ja esmaseid teadmisi esmatähtsate infrastruktuuride riskide ja huvipakkuvate prioriteetide kohta. Sidusrühmade teadmised ja perspektiivid integreeritakse metoodika arvutuslikku komponenti, et teha kindlaks strateegiad, mis suudavad edukalt riske maandada, rahuldades ka kohalikke vajadusi. Lõppkokkuvõttes on eesmärk töötada välja vahendid kliimamuutuste arvestamise ICI optimaalse rannikukaitse määramiseks viisil, mis hõlmab füüsilisi, rahalisi, kultuurilisi ja sotsiaalseid tegureid, mis on edukaks kohanemiseks kriitilise tähtsusega komponendid (Adger et al. 2005) .

Järgnevalt keskendutakse New Yorgile, ehkki kavandatud metoodika on piisavalt üldine, et seda rakendada kogu maailma rannikualal. NYC piirkond pakub kavandatava metoodilise raamistiku proovivoodina mitmeid eeliseid, kuna autorite varasemad uuringud viidi läbi piirkonnas, kus nad lõid väärtuslikke sidemeid oluliste huvigruppidega. Lisaks muudavad New Yorgi ICI keerukused ideaalseks katsekohaks mis tahes metoodikale, mis väidab selliste keerukuste lahendamist. Lõpuks pakub orkaani Sandy suhteliselt hiljutine maandumine pakutavate mudelite jaoks suurepärase valideerimiskatse ja ka sidusrühmadega kõlava testi. See test-juhtum üldistatakse siis koos teiste sidusrühmade täiendava panusega teiste kogukondade jaoks, keskendudes lähenemisviisi interdistsiplinaarsele aspektile.

Kokkuvõttes on artikli eesmärk välja töötada ja esitada uus metoodiline raamistik tormihoogude ja merepinna tõusu kombinatsioonile alluva ICI optimaalse rannikukaitsestrateegia määramiseks, sealhulgas vajalike mudelite ja andmekogumite kindlakstegemine ning seejärel näidata modelleerimine ja andmete integreerimine lihtsa, illustreeriva näite abil. Meetodi ja selle optimeerimiskomponendi täielik rakendamine on praegu pooleli ja seda esitletakse edaspidises töös.


2. Stohhastiline nõlval kontrollitav mudel

[4] Mudeli põhiidee on maksimaalse nõlvatee hindamine antud maastikul. See arvutus annab ühe tee, mis tähistab kõige järsemat gradiendi, mis väljub lähtekohast (st ventilatsiooniava). Seejärel sisestatakse igas võrgupunktis stohhastilised häired ja hinnatakse "uut" rada. Fikseeritud sisendpunkti (ventilatsiooniava) - või sisendpunktide ansambli - jaoks saab seejärel hinnata mitmeid maksimaalse nõlvade radu (millest igaüks vastab kogu kõrguse maatriksi häiritusele). Nimetame siin „jooksmiseks“ topograafia häiret ja vastava maksimaalse nõlva voolutee määramist (fikseeritud ventilatsiooniava korral). Iga jooksu korral lisatakse igas võrgupunktis häirimine juhuslikult etteantud vahemikus ± Δh. Häirimise vahemik 2Δh on väline sisendparameeter, mis vastab kahele väärtusele, kas topograafia vertikaalsele täpsusele või laavavoolu iseloomulikule vertikaalsele pikkusele, suuremale, nagu seda arutatakse järgmistes lõikudes.

[5] Maksimaalne nõlvatee peatub ainult süvendi saavutamisel. Selle efekti osaliseks vältimiseks tasandatakse kaevandite eemaldamiseks topograafiat. Süvend on täidetud, kui kogu teatud arv m naaberpikslite ja süvendi enda juhuslike häirete korral on süvend stabiilne topograafiline tunnus.

[6] See pole esimene kord, kui topograafiat kasutatakse vooluteede ennustamiseks [ Macedonio jt., 1990 Kauahikaua ja Trusdell, 1999], kuid topograafia stohhastilise häirituse põhjal ei tuvastatud ühtegi rada ega levinud laavat.

[7] Siin pakutud lähenemisviis võimalike laavavooluteede hindamiseks põhineb laavavoolu impulsivõrrandi mõõtmelisel analüüsil [ Miyamoto ja Sasaki, 1997]. Kui voolu tüüpilised väärtused on järgmised, on tabelis 1 esitatud laavavoolu liikumise mõõtmete analüüs (väljaspool allikapiirkonda) kallutatud tasapinnal:

Eq. tähtaeg Inerts Viskoosne Enesegravitatsiooniline Gravitatsiooniline
DρU / Dt −∇η∇U −gcosα∇ρh gρsinα
Kaalud ρU 2 / L ηU / H 2 gρH / L gρsinα
kg m −2 s −2 10 −2 ÷ 1 10 −1 ÷ 10 4 10 2 ÷ 10 4 10 3 ÷ 10 4

[8] Tabeli 1 analüüsist näitame, et liikumise ajal on voolu inerts teiste mõistetega võrreldes tühine ja et püsiseisundis kontrollib levikut viskoosse ja gravitatsioonilise ning iseenda vaheline konkurents -gravitatsioonilised (hüdrostaatilised) jõud, mida saab iseloomustada vertikaalse skaala pikkusega H. Seda vertikaalset skaala kõrgust H võib pidada ka takistuste suuruseks, millest vool on võimeline ületama. Seetõttu on DOWNFLOW-i maksimaalse nõlvatee arvutamisel võimalik maapinna kõrguse stohhastiline variatsioon iseloomuliku vertikaalse kõrgusega 2Δh ≅ H arvestada laavavoolu leviku esimese järgu variatsioone.

[10] Igas võrgupunktis saab hinnata omamoodi „sissetungi tõenäosust” kui suhe, kui mitu korda ületab võrgupunkt maksimaalse nõlvatee, ja jooksude koguarv. Radade arvu suurenemisega tekivad uued piirkonnad, mida iseloomustab madalam invasiooni tõenäosus. Kõigis järgmistes lõikudes käsitletud testjuhtumites osutub see invasiooni tõenäosus seotuks reaalse laavavooluvälja sissetungimise ajaga, st mida suurem on tõenäosus, seda varem on see ala tegelikku purset üle ujutatud. Selline omadus kujutab endast mudeli täiendavat kasulikku omadust ohu hindamiseks.


Valgustingimused viinamarjaistanduses sõltuvad peamiselt viinamarjaistanduse laiuskraadist ja aasta päevast. Nende parameetrite põhjal saab astronoomiliste funktsioonidega arvutada täpse päikese tee päevas. Efektiivsed päikesetunnid sõltuvad aga ka territooriumi topograafiast nii otsese kui ka hajusa kiirguse korral, mis on tingitud mägede ja mägede olemasolust Päikeseteel (otsene kiirgus) või üldiselt taeva osa vähendamisel (hajus kiirgus). 360 ° orograafilist profiili saab hinnata topograafilise uuringu abil, kasutades poolkerakujulisi pilte või geograafilisi infosüsteeme (GIS) ja digitaalseid kõrguse mudeleid (DEM). Pealegi mõjutavad rea orientatsioon, viinapuude vahekaugus, võre süsteem ja kõrgus, lehtede pindala tihedus, ekspositsiooni pool jne valguse mikrokliimat lehestikus ja eriti kobartasandil, mis võib mõjutada põllu temperatuuri ja koostist. marjad.

Käesolevas töös kasutati kahte tööriista (NS ja EW), et integreerida erinevad tööriistad (fotogalvaaniline geograafiline infosüsteem, Visual Basic funktsioonid päikese asukoha ja kiirguse arvutamiseks ning poolkerakujuliste piltide töötlemise tulemused) Exceli tööleheks. , mida nimetatakse “SunMaskiks” ja mida saab kasutada uue mitmeotstarbelise tööriistana, et 1) kiiresti arvutada nii astronoomiline kui ka topograafiline päikesetõus, loojang ja maksimaalne potentsiaalne päeva pikkus, 2) hinnata rea ​​orientatsiooni ja varikatuse mõõtmeid otsese päikesekiire läbilaskvus ajalise suure eraldusvõimega ja lõpuks 3) eraldab topograafiliste ja varikatuste maskide mõju päikesetundidele selge taeva tingimustes.

Kombineerides SunMaski erinevaid tööriistu, saab kiiresti ja hõlpsalt arvutada iga astronoomilise ja topograafilise (ümbritsevate mägede ja mägede mõjul) päikesetõusu, päikeseloojangu ja maksimaalse võimaliku päeva pikkuse iga konkreetse viinamarjaistanduse terroiri / asukoha jaoks mis tahes kuupäeval või kellaajal Euroopas, Aafrikas ja Aasias. Lisaks võimaldab tarkvara hinnata varikatuse maski mõju otsese päikesekiire läbilaskvusele. SunMask on väga oluline vara, et parandada teavet viinamarjaistanduste kiirgusprofiilide kohta meso- ja mikrotasandid. See on kõige väärtuslikum nii terroiride sobivuse hindamisel viinamarjaistanduste rajamiseks kui ka viinamarjakasvatuse tavade valimiseks ja viinamarjaistanduste haldamiseks.


1 vastus 1

Hakkasin selle kallal töötama juba teisel päeval, kuid sattusin probleemi juurde ja pidin ise küsimuse esitama! Vaadake minu küsimust ja paari vastust (ma pole neid veel proovinud). See võimaldab teil proovisaidi kontuurjoone välja tõmmata.

Ma tean, et teie küsimuses on veel paar komponenti, kuid see peaks nagunii algus olema.

Redigeerimine: nii et ülaltoodud link peaks olema vastus teie küsimusele Q1) - kontuurjoone koordinaatide leidmine. Kui rida on sf-objektina, soovitaksin selle teisendada rasteriks väärtusega 0 ja 1 (lahtrid väärtusega 0 tähendavad, et nad ei ristu joont, väärtus 1 tähendab, et lahter lõikub sirgega). Ma arvan, et raster :: mask peaks seda teie jaoks tegema.

Q3 puhul), et leida punktide vahelise joone (nüüd rasterversiooni) vahemaa, vaadake seda linki https://www.google.com/amp/s/www.r-bloggers.com/2020/02/ kolmel viisil kauguste arvutamiseks r / amp / -is, täpsemalt jaotises "Kaugused tõkke ümber". Põhimõtteliselt saate arvutada rastri punktide minimaalse kauguse, kuid veenduge, et tee järgiks ainult teatud väärtusega lahtreid (mistõttu määrate sirgjoonele väärtused 1 ja 0).

Q2 puhul) - maksimaalse gradiendi tee leidmine punktist kontuurjooneni - mul pole lahendust, kuid võiksite ehk tutvuda raster :: flowPathi dokumentatsiooniga https://www.rdocumentation.org/packages /raster/versions/3.4-5/topics/flowPath. See funktsioon teeb vastupidist sellele, mida soovite, leiab maksimaalse gradiendi allamäge kulgeva tee (et leida suund, kuhu vesi punktist voolaks). Võiksite proovida leida oma kontuurjoonelt iga lahtri flowPath ja jätta alles ainult (lühim?) Üks, mis teie proovisaidile jõudis (võib võtta aega, kui palju lahtreid on?). Vastasel juhul võiksite proovida, kuidas flowPath funktsioon töötab, ja võib-olla näha, kas saaksite selle ümber pöörata? Eeldan, et kuskil selle sees otsitakse raku naabruses olevat min-väärtust. Võib-olla võiksite selle ümber kirjutada, nii et see otsib naabruses olevat maksimaalset väärtust.

Pange tähele, et flowPath näeb vulkaaniandmeid kasutavas näites suurepäraselt välja, kuid kui olen seda kasutanud reaalsete andmete korral (piksli suurusega & lt5 cm kõrguse mudel), saab funktsiooni hõlpsasti voolata kõrgusmudelis & quot; depressioon / auk & quot; ja kiiresti lõpetada , selle asemel, et voolata kogu tee rasteri kõige allavoolu / madalaimasse punkti. Näiteks kujutage ette, et leiate allamäge voolava tee vulkaani äärest (mitte tegelikud vulkaani andmed). Võite eeldada, et vesi voolab otse ookeani, kuid seda mai voolab ootamatult vulkaani sisse (sinna, kus on laava), mis lõpeb kõrgusel, mis on palju suurem kui rastri minimaalne kõrgus. Kas see on probleem, võib sõltuda teie andmete (nii vertikaalsete kui ka horisontaalsete) lahutusvõimest. Selle ületamiseks proovige kas ümardada oma andmete kõrgusväärtused või liita raster.

Vabandust, et ma pole näidet esitanud, olen praegu oma kontorist väljas ja mõnda aega arvutist eemal. Loodetavasti annab see teile korraliku alguse!


KESKFUUGALI PUMBASÜSTEEMI ÕPETUS

Teine hõõrdumise põhjus on kõik liitmikud (küünarnukid, teesid, y-d jne), mis on vajalikud vedeliku viimiseks punktist A punkti B. Igal neist on vedeliku voolujoonte suhtes eriline mõju. Näiteks küünarnuki korral tõusevad küünarnuki tihedale siseraadiusele kõige lähemal olevad vedelikuosakesed toru pinnalt välja, moodustades väikseid energiat tarbivaid pööriseid. See energiakadu on ühe küünarnuki jaoks väike, kuid kui teil on mitu küünarnukki ja muud liitmikku, võib kogu summa märkimisväärseks muutuda. Üldiselt moodustavad need toru üldpikkusest tulenevalt harva üle 30% kogu hõõrdumisest.

Energia ja pea pumbasüsteemides

Energia ja pea on kaks mõistet, mida pumbasüsteemides sageli kasutatakse. Me kasutame energiat vedelike liikumise kirjeldamiseks pumbasüsteemides, kuna see on lihtsam kui mis tahes muu meetod. Pumbasüsteemides on neli energiavormi: rõhk, tõus, hõõrdumine ja kiirus.

Mahuti põhjas tekib rõhk, kuna vedelik täidab mahuti täielikult ja selle kaal tekitab jõu, mis jaotub rõhu all oleva pinna kohal. Seda tüüpi survet nimetatakse staatiliseks rõhuks. Rõhuenergia on energia, mis koguneb vedelate või gaasiliste osakeste üksteisele veidi lähemale viimisel ja selle tagajärjel oma keskkonnas väljapoole surudes. Hea näide on tulekustuti, tööd tehti vedeliku mahutisse viimiseks ja seejärel selle survestamiseks. Kui anum on suletud, on rõhuenergia hilisemaks kasutamiseks saadaval.

Kõrgendusenergia on energia, mis on vedelikul kättesaadav, kui see asub teatud kõrgusel. Kui lasete sellel tühjeneda, võib see juhtida midagi kasulikku, näiteks elektrit tootvat turbiini.

Hõõrdenergia on energia, mis kaotatakse keskkonda vedeliku liikumise tõttu süsteemi torude ja liitmike kaudu.

Kiirusenergia on liikuvate objektide energia. Kui kann kannab pesapalli, annab ta sellele kiirusenergia, mida nimetatakse ka kineetiliseks energiaks. Kui vesi voolab aiavoolikust välja, on sellel kiirusenergia.

Ülaloleval joonisel näeme vett täis paaki, vett täis toru ja mäe otsas jalgratturit. Paak tekitab põhjas survet ja nii ka toru. Jalgratturil on kõrguse energia, mida ta kasutab kohe, kui ta liigub.

Kui avame paagi põhjas oleva klapi, väljub vedelik paagist teatud kiirusega, muundades sel juhul rõhuenergia kiirusenergiaks. Sama juhtub ka toruga. Jalgratturi puhul muudetakse kõrguse energia järk-järgult kiiruse energiaks.

Energia kolm vormi: kõrgus, rõhk ja kiirus suhtlevad vedelikes üksteisega. Tahkete esemete jaoks puudub rõhuenergia, kuna need ei ulatu väljapoole nagu vedelikud, mis täidavad kogu olemasoleva ruumi, ja seetõttu ei mõjuta neid samasugused rõhumuutused.

Energia, mida pump peab pakkuma, on hõõrdenergia pluss kõrguse energia.

PUMPENERGIA = HÕÕRGUSENERGIA + KÕRGUSENERGIA

Tõenäoliselt mõtlete, kus on selle kõige kiirusenergia. Noh, kui vedelik väljub süsteemist suurel kiirusel, peaksime seda kaaluma, kuid see pole tüüpiline olukord ja võime selles artiklis käsitletud süsteemide puhul selle unarusse jätta.

Viimane sõna sellel teemal on tegelikult kiiruse energia erinevus, mida peame arvestama. Joonisel 9c on punktides 1 ja 2 olevad kiirused tingitud vedelike osakeste asendist punktides 1 ja 2 ning pumba toimest. Nende kahe kiiruse energia erinevus seisneb energiapuuduses, mille pump peab pakkuma, kuid nagu näete, on nende kahe punkti kiirused üsna väikesed.

Aga kuidas on peaga? Pea on tegelikult viis energia kasutamise lihtsustamiseks. Energia kasutamiseks peame teadma ümberasustatud objekti kaalu.

Kõrguse energia E.E. on objekti kaal W korrutatuna kaugusega d:

Hõõrdenergia FE on hõõrdejõud F, mis korrutab vedeliku nihkumise vahekauguse või toru pikkuse l:

Pea on energia jagatud kaalu või objekti tõrjumiseks kasutatud energiahulgaga, jagatuna selle massiga. Kõrguse energia jaoks on kõrguspea EH:

Hõõrdenergia jaoks on hõõrdepea FH jagatud nihutatud vedeliku massiga:

FH = FE / W = F x l / W (vt joonis 9b)

Hõõrdejõud F on naelades ja W kaal on samuti naelades, nii et hõõrdepea ühikuks on jalad. See tähistab energia hulka, mida pump peab hõõrdumisest ülesaamiseks andma.


Ma tean, et te arvate, et sellel pole mõtet, kuidas saavad jalad energiat esindada?

Kui kinnitan toru pumba väljalaskeküljele, tõuseb vedelik torus kõrgusele, mis täpselt tasakaalustab rõhku pumba väljalaskeava juures. Osa vedeliku kõrgusest torus tuleneb nõutavast kõrgusest (kõrguse pea) ja teine ​​on hõõrdepea ja nagu näete, on mõlemad väljendatud jalgadena ja nii saate neid mõõta.

Websteri & # x2019s sõnaraamatu määratlus peast on: & # x201Ca veekogu, mida hoitakse kõrgusel reservis & # x201D.

Seda väljendatakse jalgadena keiserlikus süsteemis ja meetrites meetermõõdustikus. Oma kõrguse ja kaalu tõttu tekitab vedelik madalamal rõhu. Mida kõrgem on reservuaar, seda suurem on rõhk.

Mahuti põhjas olev rõhu suurus ei sõltu selle kujust, sama vedeliku taseme korral on rõhk põhjas sama. See on oluline, kuna keerulistes torustikesüsteemides on alati võimalik teada põhjas olevat rõhku, kui teame kõrgust. Selle artikli lõppu saate teada, kuidas kõrguselt survet arvutada.

Kui pumpa kasutatakse vedeliku kõrgemale tasemele tõrjumiseks, asub see tavaliselt madalamas punktis või selle lähedal. Staatilise peaga reservuaari pea tekitab pumbale survet, mis tuleb ületada pärast pumba käivitamist.

Tühjenduspaagi ja imemispaagi tekitatud rõhuenergia eristamiseks nimetatakse tühjenduspoolset pead väljalaskestaatiliseks peaks ja imemispoolset staatiliseks peaks.

Tavaliselt viiakse vedelik imemispaagist väljalaskepaaki. Imemismahuti vedelik annab pumba imemisele rõhuenergiat, mis aitab pumpa. Me tahame teada, kui palju rõhuenergiat pump ise peab pakkuma, seega lahutame imemispeaga pakutava rõhuenergia. Staatiline pea on siis tühjenduspaagi vedeliku pinna kõrguse vahe imemispaagi vedeliku pinnast. Staatilist pead nimetatakse mõnikord kogu staatiliseks peaks, mis näitab, et arvesse on võetud pumba mõlemal küljel saadaolevat rõhuenergiat.

Kuna imemis- ja väljalaskeäärikute või pumba ühenduste vahel on kokkuleppel kõrguse erinevus, lepiti kokku, et staatilist pead mõõdetakse imemisääriku kõrguse suhtes.

Kui väljalasketoru ots on atmosfäärile avatud, mõõdetakse staatilist pead toru otsa suhtes.

Mõnikord on väljalasketoru ots uputatud, siis on staatiline pea väljalaskepaagi vedeliku pinna ja imemispaagi vedeliku pinna kõrguse erinevus. Kuna süsteemis olev vedelik on pidev keskkond ja kõik vedelikuosakesed on rõhu kaudu ühendatud, aitavad vedelikuosakesed, mis asuvad tühjenduspaagi pinnal, pumba väljalaskes tekkivale rõhule. Seetõttu on tühjenduspinna kõrgus staatilise pea puhul arvesse võetav kõrgus. Vältige viga, kui staatilise pea arvutamiseks kasutatakse väljalasketoru otsa kui toru otsa on uputatud.

Märkus: kui väljalasketoru ots on sukeldatud, on pumba seiskamisel tagasivoolu vältimiseks vajalik pumba väljalaskeklapp.

Staatilist pead saab muuta, kui tõsta tühjenduspaagi pinda (eeldades, et toru ots on vee all) või imemispaaki või mõlemat. Kõik need muudatused mõjutavad voolukiirust.

Staatilise pea õigeks määramiseks järgige vedelaid osakesi algusest lõpuni, algus on peaaegu alati imemispaagi vedeliku pinnal, seda nimetatakse sisselaskeava kõrguseks. Lõpp leiab aset siis, kui kohtate fikseeritud rõhuga keskkonda, näiteks avatud atmosfääri, see punkt on tühjenduskõrguse ots või väljalaskekõrgus. Kahe kõrguse vahe on staatiline pea. Staatiline pea võib olla negatiivne, kuna väljalaske kõrgus võib olla madalam kui sisselaskeava kõrgus.

Voolukiirus sõltub kõrguste erinevusest või staatilisest peast

Identsete süsteemide korral varieerub voolukiirus staatilise peaga. Kui toru otsa kõrgus on kõrge, on voolukiirus madal (vt joonis 10). Võrdle seda jalgratturiga, millel on kerge ülespoole kallakuga küngas, tema liikumiskiirus on mõõdukas ja vastab energiahulgale, mida ta suudab varustada, et ületada teel olevate rataste hõõrdumist ja kõrguse muutust.

Kui imemispaagi vedeliku pind on toru väljalaskeava otsaga samal kõrgusel, on staatiline pea null ja vooluhulka piirab süsteemi hõõrdumine. See on võrdne jalgratturiga tasasel teel, tema kiirus sõltub rataste ja tee vahelise hõõrdumise suurusest ja õhutakistusest (vt joonis 11).

Joonisel 12 tõstetakse väljalasketoru otsa vertikaalselt, kuni vool peatub, pump ei saa vedelikku sellest punktist kõrgemale tõsta ja tühjendusrõhk on maksimaalne. Samamoodi rakendab jalgrattur pedaalidele maksimaalset jõudu, jõudmata kuhugi.

Kui väljalasketoru ots on imemispaagi vedeliku pinnast madalam, on staatiline pea negatiivne ja voolukiirus kõrge (vt joonis 13). Kui negatiivne staatiline pea on suur, on võimalik, et pumpa pole vaja, sest selle kõrguse erinevuse abil pakutav energia võib olla piisav vedeliku liikumiseks süsteemis ilma pumpa kasutamata, nagu sifooni puhul ( vt pumbasüsteemi sõnastik). Analoogia põhjal kaotab jalgrattur mäest alla tulles oma salvestatud kõrguse energia, mis muudetakse järk-järgult kiirusenergiaks. Mida madalamal ta nõlval on, seda kiiremini ta läheb.

Pumbaid hinnatakse kõige sagedamini pea ja voolu järgi. Joonisel 12 on väljalasketoru ots tõstetud kõrgusele, kus vool peatub, see on pumba pea nullvoolu juures. Me mõõdame seda kõrguse erinevust jalgades (vt joonis 13a). Pea varieerub sõltuvalt voolukiirusest, kuid sellisel juhul, kuna vooluhulka pole ja seega pole hõõrdumist, on pumba pea MAKSIMAALNE KÕRGUS, MILLEGA VEDELIKU VÕIB VÕTTA VASTAVALT IMMISPAAGI PINNALE. Kuna voolu pole, on pumba toodetud pea (nimetatakse ka kogu peaks) võrdne staatilise peaga.

Sellises olukorras annab pump maksimaalse rõhu. Kui toru ots langetatakse joonisel 10 näidatud viisil, suureneb pumba vooluhulk ja pea (tuntud ka kui kogu pea) väheneb väärtusele, mis vastab voolule. Miks? Alustame nullvoolu punktist toru otsaga maksimaalsel kõrgusel, toru ots langetatakse nii, et vool algab. Voolu korral peab hõõrdumine olema, lahutatakse hõõrdenergia (kuna see on kadunud) maksimaalsest kogu peast ja kogu pea väheneb. Samal ajal vähendatakse staatilist pead, mis vähendab veelgi kogu pead.

Pumba ostmisel ei määratle maksimaalset kogu pead, mida pump suudab pakkuda, kuna see toimub nullvoolu korral. Selle asemel määrate kogu pea, mis teie nõutava voolukiirusega toimub. See pea sõltub maksimaalsest kõrgusest, mille peate saavutama imemispaagi vedeliku pinna ja teie süsteemi hõõrdekadude suhtes.

Näiteks kui teie pump varustab vanni 2. korrusel, vajate selle taseme saavutamiseks piisavalt pead, see on teie staatiline pea, millele lisandub täiendav kogus torude ja liitmike kaudu tekkiva hõõrdekadu ületamiseks. Eeldades, et soovite vanni võimalikult kiiresti täita, on vanni kraanid täielikult avatud ja pakuvad väga vähe vastupanu või hõõrdekadu. Kui soovite selle vanni jaoks varustada dušipead, vajate sama voolukiiruse jaoks pumpa, millel on rohkem pead, kuna duššipea on kõrgem ja pakub suuremat takistust kui vanni kraanid.

Õnneks on tsentrifugaalpumpade suurusi ja mudeleid palju ning te ei saa eeldada, et ostate pumba, mis sobib täpselt soovitud vooluga peaga. Tõenäoliselt peate ostma pumba, mis annab veidi rohkem pead ja vooluhulka kui vaja, ning reguleerite voolu sobivate ventiilide abil.

Märkus. Pumbast saate rohkem pead, kui suurendate selle kiirust või tiiviku läbimõõtu või mõlemat. Praktikas ei saa koduomanikud neid muudatusi teha ja suurema kogupea saamiseks tuleb osta uus pump.

Voolukiirus sõltub hõõrdumisest

Identsete süsteemide korral varieerub voolukiirus väljalasketoru suuruse ja läbimõõduga. Suure suurusega väljalasketoruga süsteemil on suur vooluhulk. Nii juhtub, kui panete tühjendamiseks mahutile suure toru, see tühjeneb väga kiiresti.

Mida väiksem toru, seda vähem voolu. Kuidas reguleerib pump ennast toru läbimõõduga, ei tea ju see, millise suurusega toru paigaldatakse? Teie paigaldatud pump on mõeldud teatud keskmise vooluhulga tagamiseks süsteemidele, mille torud on vastavalt suurusega. Tööratta suurus ja selle kiirus eelsoodustavad pumpa teatud voolukiirusel vedelikku tarnima. Kui proovite sama voolu läbi väikese toru suruda, suureneb tühjendusrõhk ja vooluhulk väheneb. Samamoodi, kui proovite paaki tühjendada väikese toruga, võtab selle tühjendamine kaua aega (vt joonis 15).

Hiljem tutvustatakse õpetuses diagrammi, mis näitab torude suurust erinevate vooluhulkade jaoks. Või võite selle juurde kohe hüpata ja hiljem tagasi tulla.

Kui toru on lühike, on hõõrdumine väike ja voolukiirus kõrge (vt joonis 16).

ja kui väljalasketoru on pikk, on hõõrdumine suur ja voolukiirus madal (vt joonis 17).

Kuidas tsentrifugaalpump survet tekitab

Vedelikuosakesed sisenevad pumpa imemisääriku või ühenduskoha juures. Seejärel pööravad nad tiivikuks 90 kraadi ja täidavad iga tiiviku labade vahelise mahu.

Üksikasjalikum ülevaade suletud tiiviku pumba realistlikumast ristlõikest on näha joonisel 19a

A centrifugal pump is a device whose primary purpose is to produce pressure by accelerating fluid particles to a high velocity providing them with velocity energy. What is velocity energy? It's a way to express how the velocity of objects can affect other objects, you for example. Have you ever been tackled in a football match? The velocity at which the other player comes at you determines how hard you are hit. The mass of the player is also an important factor. The combination of mass and velocity produces velocity (kinetic) energy. Another example is catching a hard baseball pitch, ouch, there can be allot of velocity in a small fast moving baseball. Fluid particles that move at high speed have velocity energy, just put your hand on the open end of a garden hose.

The fluid particles in the pump are expelled from the tips of the impeller vanes at high velocity, then they slow down as they get closer to the discharge connection, loosing some of their velocity energy. This decrease in velocity energy increases pressure energy. Unlike friction which wastes energy, the decrease in velocity energy serves to increase pressure energy, this is the principal of energy conservation in action. The same thing happens to a cyclist that starts at the top of a hill, his speed gradually increases as he looses elevation. The cyclist’s elevation energy was transformed into velocity energy, in the pump’s case the velocity energy is transformed into pressure energy.

Try this experiment, find a plastic cup or other container that you can poke a small pinhole in the bottom. Fill it with water and attach a string to it, and now you guessed it, start spinning it.

The faster you spin, the more water comes out the small hole, the water is pressurized inside the cup using centrifugal force in a similar fashion to a centrifugal pump. In the case of a pump, the rotational motion of the impeller projects fluid particles at high speed into the volume between the casing wall and the impeller tips. Prior to leaving the pump, the fluid particles slow down to the velocity at the inlet of the discharge pipe (see Figures 18 and 19) which will be the same velocity throughout the system if the pipe diameter does not change.

How does the flow rate change when the discharge pipe end elevation is changed or when there is an increase or decrease in pipe friction? These changes cause the pressure at the pump outlet to increase when the flow decreases, sounds backwards doesn’t it. Well it’s not and you will see why. How does the pump adjust to this change in pressure? Or in other words, if the pressure changes due to outside factors, how does the pump respond to this change.

Pressure is produced by the rotational speed of the impeller vanes. The speed is constant. The pump will produce a certain discharge pressure corresponding to the particular conditions of the system (for example, fluid viscosity, pipe size, elevation difference, etc.). If changing something in the system causes the flow to decrease (for example closing a discharge valve), there will be an increase in pressure at the pump discharge because there is no corresponding reduction in the impeller speed. The pump produces excess velocity energy because it operates at constant speed, the excess velocity energy is transformed into pressure energy and the pressure goes up.

All centrifugal pumps have a performance or characteristic curve that looks similar to the one shown in Figure 21 (assuming that the level in the suction tank remains constant), this shows how the discharge pressure varies with the flow rate through the pump.

So that at 200 gpm, this pump produces 20 psig discharge pressure, and as the flow drops the pressure will reach a maximum of 40 psig.

Note: his applies to centrifugal pumps, many home owners have positive displacement pumps, often piston pumps. Those pumps produce constant flow no matter what changes are made to the system.


Extract building roof forms

To extract roof forms, you will use the Extract Roof Form tool, which is one of the two script tools included in the Roof_Form_Extraction toolbox that you downloaded with the project data. The Extract Roof Form tool will not automatically create 3D buildings, but it will add attribute data to 2D building footprints that describe roof form and other roof attributes. These attributes will then be used to procedurally create these features in 3D. First, you

Many buildings are not uniformly rectangular, but have various levels, different roofs, and other architectural features. To minimize the editing you will have to do by hand to add these features after the building blocks have been extruded, you will preprocess the data. There are two options for doing this, using either building footprints or elevation. Your building footprints are simple rectangles without segmentation, so you will use the DSM to estimate where building footprints should be split to allow for more detail. You will use a script tool that is included in the 3DBasemaps solution.

The 3D Basemaps project comes with tasks, as you have seen, and many tools that you can use to create and mange buildings, floors, powerlines, and other features in your 3D basemaps.

The spatial and spectral detail fields populate. The values range from 1 to 20, with higher numbers corresponding to more detailed outputs. In a city, where buildings and skyscrapers may have many roof facets with large differences in height, lower values can be used because the elevation changes are very easy to detect. In a suburb or row housing example, values would need to be higher to detect more subtle differences in elevation. Because you're dealing with both skyscrapers (along the river) and row housing (to the east), you'll use the default values, which fall relatively in the middle of the range.

The tool will take several minutes to run.

Now that the building footprints have been segmented, you will use the Create Buildings task to make a 3D feature class of buildings.

There are two optional tasks in the Publish Buildings group that allow you to extract building footprints and preprocess building footprints. The first task, Extract building footprints , is only necessary if you do not have building footprints and will extract the building footprints from a lidar dataset. The next task, Preprocess building footprints , allows you to segment buildings based on another feature class prior to roof form creation. You do not have another feature class to segment with and you just segmented using an elevation surface, so you will proceed to the Create buildings task.

The RoofForm parameters define what is considered a roof surface. By default, a roof should be 250 square feet (flat) or 75 square feet (sloped), and 8 feet above ground. These minimum parameters prevent smaller objects, such as cars or street posts, from being counted as roof surfaces. Lidar data that includes larger or smaller buildings will need a different range of parameters. This area is zoned as residential and commercial, so the default values are neither too lenient to count nonbuilding objects nor too strict to exclude smaller homes. When creating detailed buildings, you should also consider simplifying the features by removing redundant or excess vertices in the building footprints. Simplified models look smoother and reduce rendering time, which is ideal for sharing your output with the Portland municipal government.

If your data is in meters or another unit of measurement, you will must adjust these parameters. The unit of measurement in these parameters will be the same as that in your elevation layers.

Finally, you can choose to simplify the buildings. Simplifying the buildings will remove redundant or excess vertices in the building footprints. The result will make the 3D building models look smoother and reduce the time it takes to render them. You eventually want to share your 3D buildings with the Portland municipal government, so a better-looking output is desirable.

You will also verify that the Simplify Tolerance is set to 0.1, the maximum distance variation between the vertices of the simplified polygon and the original polygon. A lower value will maintain accuracy, while a larger value will simplify more. You want to keep your building footprints accurate, because they are going to be used for analysis by the Portland municipal government, so you will use a small value of 0.1.

The value uses the same unit of measurement as your elevation layers.

The tool may take several minutes to run. When it finishes, the new layer is added to the scene.

The new roof forms feature class contains 3D models of the Portland building footprints layer, and new information was added to its attribute table.

The attribute table appears. Alongside standard feature class attributes such as OBJECTID, Shape, Shape_Length, and Shape_Area, there are several fields related to roof height, form, and direction.

These fields were created by the Extract Roof Form tool based on the elevation layers and building footprints used as the tool's input. The fields and their meanings are explained in the following list:

  • BLDGHEIGHT (Building Height)—The maximum height of the building.
  • EAVEHEIGHT (Eave Height)—The minimum height of the building. Buildings with no eave height have flat roofs.
  • ROOFFORM (Roof Form)—The shape of the roof. The roof form can be Flat, Gable, or Hip. The following image shows what each roof form looks like:

Now that you have the buildings created, you will check how closely they match the lidar data.


7. Digital Elevation Model (DEM)

In general, a DEM is any raster representation of a terrain surface. Specifically, the U.S. Geological Survey produced a nation-wide DEM called the National Elevation Dataset (NED), which has traditionally served a primary source of elevation data. The NED has been incorporated into a newer elevation data product at the USGS called the 3D Elevation Program (3DEP). Here we consider the characteristics of traditional DEMs produced by the USGS. Later in this chapter, we'll consider sources of global terrain data.

Identification

USGS DEMs are raster grids of elevation values that are arrayed in series of south-north profiles. Like other USGS data, DEMs were produced originally in tiles that correspond to topographic quadrangles. Large-scale (7.5-minute and 15-minute), intermediate scale (30 minute), and small-scale (1 degree) series were produced for the entire U.S. The resolution of a DEM is a function of the east-west spacing of the profiles and the south-north spacing of elevation points within each profile.

DEMs corresponding to 7.5-minute quadrangles are available at 10-meter resolution for much, but not all, of the U.S. Coverage is complete at 30-meter resolution. In these large-scale DEMs, elevation profiles are aligned parallel to the central meridian of the local UTM zone, as shown in Figure 7.8.1, below. See how the DEM tile in the illustration below appears to be tilted? This is because the corner points are defined in unprojected geographic coordinates that correspond to the corner points of a USGS quadrangle. The farther the quadrangle is from the central meridian of the UTM zone, the more it is tilted.

As shown in Figure 7.8.2, the arrangement of the elevation profiles is different in intermediate- and small-scale DEMs. Like meridians in the northern hemisphere, the profiles in 30-minute and 1-degree DEMs converge toward the north pole. For this reason, the resolution of intermediate- and small-scale DEMs (that is to say, the spacing of the elevation values) is expressed differently than for large-scale DEMs. The resolution of 30-minute DEMs is said to be 2 arc seconds and 1-degree DEMs are 3 arc seconds. Since an arc second is 1/3600 of a degree, elevation values in a 3 arc-second DEM are spaced 1/1200 degree apart, representing a grid cell about 66 meters "wide" by 93 meters "tall" at 45º latitude.

The preferred method for producing the elevation values that populate DEM profiles is interpolation from DLG hypsography and hydrography layers (including the hydrography layer enables analysts to delineate valleys with less uncertainty than hypsography alone). Some older DEMs were produced from elevation contours digitized from paper maps or during photogrammetric processing, then smoothed to filter out errors. Others were produced photogrammetrically from aerial photographs.

Data quality

The vertical accuracy of DEMs is expressed as the root mean square error (RMSE) of a sample of at least 28 elevation points. The target accuracy for large-scale DEMs is seven meters 15 meters is the maximum error allowed.

Spatial Reference Information

Like DLGs, USGS DEMs are heterogenous. They are cast on the Universal Transverse Mercator projection used in the local UTM zone. Some DEMs are based upon the North American Datum of 1983, others on NAD 27. Elevations in some DEMs are referenced to either NGVD 29 or NAVD 88.

Entities and attributes

Each record in a DEM is a profile of elevation points. Records include the UTM coordinates of the starting point, the number of elevation points that follow in the profile, and the elevation values that make up the profile. Other than the starting point, the positions of the other elevation points need not be encoded, since their spacing is defined. (Later in this chapter, you'll download a sample USGS DEM file. Try opening it in a text editor to see what I'm talking about.)

Distribution

DEM tiles are available for free download through many state and regional clearinghouses. You can find these sources by searching the geospatial items on the Data.Gov site, formerly the separate Geospatial One Stop site.

As part of its National Map initiative, the USGS has developed a suite of elevation data products derived from traditional DEMs, lidar, and other sources. NED data are available at three resolutions: 1 arc second (approximately 30 meters), 1/3 arc second (approximately 10 meters), and 1/9 arc second (approximately 3 meters). Coverage ranges from complete at 1 arc second to extremely sparse at 1/9 arc second. As of 2020, USGS' elevation data products are managed through its 3D Elevation Program (3DEP). The second of the two following activities involves downloading 3DEP data and viewing it in Global Mapper.

Proovi seda!

Exploring DEMs with Global Mapper

Global Mapper time again! This time, you'll investigate the characteristics of a USGS DEM. The instructions below assume that you have already installed the software on your computer. (If you haven't, return to installation instructions presented earlier in Chapter 6). The instructions will remind you how to open a DEM in Global Mapper.


Sisu

To define a spherical coordinate system, one must choose two orthogonal directions, the zenith ja azimuth reference, and an päritolu point in space. These choices determine a reference plane that contains the origin and is perpendicular to the zenith. The spherical coordinates of a point P are then defined as follows:

  • The radius või radial distance is the Euclidean distance from the origin O to P .
  • The inclination (or polar angle) is the angle between the zenith direction and the line segment OP .
  • The azimuth (or azimuthal angle) is the signed angle measured from the azimuth reference direction to the orthogonal projection of the line segment OP on the reference plane.

The sign of the azimuth is determined by choosing what is a positiivne sense of turning about the zenith. This choice is arbitrary, and is part of the coordinate system's definition.

The elevation angle is 90 degrees ( π / 2 radians) minus the inclination angle.

If the inclination is zero or 180 degrees ( π radians), the azimuth is arbitrary. If the radius is zero, both azimuth and inclination are arbitrary.

In linear algebra, the vector from the origin O to the point P is often called the position vector kohta P.

Conventions Edit

Several different conventions exist for representing the three coordinates, and for the order in which they should be written. The use of ( r , θ , φ ) to denote radial distance, inclination (or elevation), and azimuth, respectively, is common practice in physics, and is specified by ISO standard 80000-2:2019, and earlier in ISO 31-11 (1992).

However, some authors (including mathematicians) use ρ for radial distance, φ for inclination (or elevation) and θ for azimuth, and r for radius from the z-axis, which "provides a logical extension of the usual polar coordinates notation". [3] Some authors may also list the azimuth before the inclination (or elevation). Some combinations of these choices result in a left-handed coordinate system. The standard convention ( r , θ , φ ) conflicts with the usual notation for two-dimensional polar coordinates and three-dimensional cylindrical coordinates, where θ is often used for the azimuth. [3]

The angles are typically measured in degrees (°) or radians (rad), where 360° = 2π rad. Degrees are most common in geography, astronomy, and engineering, whereas radians are commonly used in mathematics and theoretical physics. The unit for radial distance is usually determined by the context.

When the system is used for physical three-space, it is customary to use positive sign for azimuth angles that are measured in the counter-clockwise sense from the reference direction on the reference plane, as seen from the zenith side of the plane. This convention is used, in particular, for geographical coordinates, where the "zenith" direction is north and positive azimuth (longitude) angles are measured eastwards from some prime meridian.

Major conventions
koordinaadid corresponding local geographical directions
(Z, X, Y)
right/left-handed
(r, θinc, φaz,right) (U, S, E) eks
(r, φaz,right, θel) (U, E, N) eks
(r, θel, φaz,right) (U, N, E) left
Note: easting ( E ), northing ( N ), upwardness ( U ). Local azimuth angle would be measured, e.g., counterclockwise from S to E in the case of (U, S, E) .

Unique coordinates Edit

If it is necessary to define a unique set of spherical coordinates for each point, one must restrict their ranges. A common choice is

r ≥ 0, 0° ≤ θ ≤ 180° (π rad), 0° ≤ φ < 360° (2π rad).

However, the azimuth φ is often restricted to the interval (−180°, +180°] , or (− π , + π ] in radians, instead of [0, 360°) . This is the standard convention for geographic longitude.

The range [0°, 180°] for inclination is equivalent to [−90°, +90°] for elevation (latitude).

Even with these restrictions, if θ is 0° or 180° (elevation is 90° or −90°) then the azimuth angle is arbitrary and if r is zero, both azimuth and inclination/elevation are arbitrary. To make the coordinates unique, one can use the convention that in these cases the arbitrary coordinates are zero.

Plotting Edit

To plot a dot from its spherical coordinates (r, θ, φ) , where θ is inclination, move r units from the origin in the zenith direction, rotate by θ about the origin towards the azimuth reference direction, and rotate by φ about the zenith in the proper direction.

The geographic coordinate system uses the azimuth and elevation of the spherical coordinate system to express locations on Earth, calling them respectively longitude and latitude. Just as the two-dimensional Cartesian coordinate system is useful on the plane, a two-dimensional spherical coordinate system is useful on the surface of a sphere. In this system, the sphere is taken as a unit sphere, so the radius is unity and can generally be ignored. This simplification can also be very useful when dealing with objects such as rotational matrices.

Spherical coordinates are useful in analyzing systems that have some degree of symmetry about a point, such as volume integrals inside a sphere, the potential energy field surrounding a concentrated mass or charge, or global weather simulation in a planet's atmosphere. A sphere that has the Cartesian equation x 2 + y 2 + z 2 = c 2 has the simple equation r = c in spherical coordinates.

Two important partial differential equations that arise in many physical problems, Laplace's equation and the Helmholtz equation, allow a separation of variables in spherical coordinates. The angular portions of the solutions to such equations take the form of spherical harmonics.

Another application is ergonomic design, where r is the arm length of a stationary person and the angles describe the direction of the arm as it reaches out.

Three dimensional modeling of loudspeaker output patterns can be used to predict their performance. A number of polar plots are required, taken at a wide selection of frequencies, as the pattern changes greatly with frequency. Polar plots help to show that many loudspeakers tend toward omnidirectionality at lower frequencies.

The spherical coordinate system is also commonly used in 3D game development to rotate the camera around the player's position [ tsiteerimine on vajalik ] .

In geography Edit

To a first approximation, the geographic coordinate system uses elevation angle (latitude) in degrees north of the equator plane, in the range −90° ≤ φ ≤ 90° , instead of inclination. Latitude is either geocentric latitude, measured at the Earth's center and designated variously by ψ, q, φ′, φc, φg or geodetic latitude, measured by the observer's local vertical, and commonly designated φ . The azimuth angle (longitude), commonly denoted by λ , is measured in degrees east or west from some conventional reference meridian (most commonly the IERS Reference Meridian), so its domain is −180° ≤ λ ≤ 180° . For positions on the Earth or other solid celestial body, the reference plane is usually taken to be the plane perpendicular to the axis of rotation.

The polar angle, which is 90° minus the latitude and ranges from 0 to 180°, is called colatitude in geography.

Instead of the radial distance, geographers commonly use altitude above or below some reference surface, which may be the sea level or "mean" surface level for planets without liquid oceans. The radial distance r can be computed from the altitude by adding the mean radius of the planet's reference surface, which is approximately 6,360 ± 11 km (3,952 ± 7 miles) for Earth.

However, modern geographical coordinate systems are quite complex, and the positions implied by these simple formulae may be wrong by several kilometers. The precise standard meanings of latitude, longitude and altitude are currently defined by the World Geodetic System (WGS), and take into account the flattening of the Earth at the poles (about 21 km or 13 miles) and many other details.

In astronomy Edit

In astronomy there are a series of spherical coordinate systems that measure the elevation angle from different fundamental planes. These reference planes are the observer's horizon, the celestial equator (defined by Earth's rotation), the plane of the ecliptic (defined by Earth's orbit around the Sun), the plane of the earth terminator (normal to the instantaneous direction to the Sun), and the galactic equator (defined by the rotation of the Milky Way).

As the spherical coordinate system is only one of many three-dimensional coordinate systems, there exist equations for converting coordinates between the spherical coordinate system and others.

Cartesian coordinates Edit

The spherical coordinates of a point in the ISO convention (i.e. for physics: radius r , inclination θ , azimuth φ ) can be obtained from its Cartesian coordinates (x, y, z) by the formulae

Alternatively, the conversion can be considered as two sequential rectangular to polar conversions: the first in the Cartesian xy plane from (x, y) to (R, φ) , where R is the projection of r onto the xy -plane, and the second in the Cartesian zR -plane from (z, R) to (r, θ) . The correct quadrants for φ and θ are implied by the correctness of the planar rectangular to polar conversions.

These formulae assume that the two systems have the same origin, that the spherical reference plane is the Cartesian xy plane, that θ is inclination from the z direction, and that the azimuth angles are measured from the Cartesian x axis (so that the y axis has φ = +90° ). Kui θ measures elevation from the reference plane instead of inclination from the zenith the arccos above becomes an arcsin, and the cos θ and sin θ below become switched.

Conversely, the Cartesian coordinates may be retrieved from the spherical coordinates (radius r , inclination θ , azimuth φ ), where r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π] , φ ∈ [0, 2π) , by

Cylindrical coordinates Edit

Cylindrical coordinates (axial radius ρ, azimuth φ, elevation z) may be converted into spherical coordinates (central radius r, inclination θ, azimuth φ), by the formulas

Conversely, the spherical coordinates may be converted into cylindrical coordinates by the formulae

These formulae assume that the two systems have the same origin and same reference plane, measure the azimuth angle φ in the same senses from the same axis, and that the spherical angle θ is inclination from the cylindrical z axis.

Modified spherical coordinates Edit

It is also possible to deal with ellipsoids in Cartesian coordinates by using a modified version of the spherical coordinates.

Let P be an ellipsoid specified by the level set

The modified spherical coordinates of a point in P in the ISO convention (i.e. for physics: radius r , inclination θ , azimuth φ ) can be obtained from its Cartesian coordinates (x, y, z) by the formulae

An infinitesimal volume element is given by

The square-root factor comes from the property of the determinant that allows a constant to be pulled out from a column:

The following equations (Iyanaga 1977) assume that the colatitude θ is the inclination from the z (polar) axis (ambiguous since x , y , and z are mutually normal), as in the physics convention discussed.

The line element for an infinitesimal displacement from (r, θ, φ) to (r + dr, θ + dθ, φ + dφ) is

are the local orthogonal unit vectors in the directions of increasing r , θ , and φ , respectively, and , ŷ ja are the unit vectors in Cartesian coordinates. The linear transformation to this right-handed coordinate triplet is a rotation matrix,

The general form of the formula to prove the differential line element, is [4]

The desired coefficients are the magnitudes of these vectors: [4]

The surface element spanning from θ to θ + dθ and φ to φ + dφ on a spherical surface at (constant) radius r is then

Thus the differential solid angle is

The surface element in a surface of polar angle θ constant (a cone with vertex the origin) is

The surface element in a surface of azimuth φ constant (a vertical half-plane) is

The volume element spanning from r to r + dr , θ to θ + dθ , and φ to φ + dφ is specified by the determinant of the Jacobian matrix of partial derivatives,

Thus, for example, a function f(r, θ, φ) can be integrated over every point in ℝ 3 by the triple integral

The del operator in this system leads to the following expressions for gradient, divergence, curl and Laplacian,

Further, the inverse Jacobian in Cartesian coordinates is

The metric tensor in the spherical coordinate system is g = J T J J> .

In spherical coordinates, given two points with φ being the azimuthal coordinate

The distance between the two points can be expressed as

In spherical coordinates, the position of a point is written as

The corresponding angular momentum operator then follows from the phase-space reformulation of the above,

L = − i ℏ r × ∇ = i ℏ ( θ ^ sin ⁡ ( θ ) ∂ ∂ ϕ − ϕ ^ ∂ ∂ θ ) . =-ihbar